Read e-book online Coniques projectives, affines et métriques : Cours et PDF

By Bruno Ingrao

ISBN-10: 2916352120

ISBN-13: 9782916352121

Les coniques ont, depuis toujours, fasciné les amateurs de technology, au sens le plus huge. Il faut dire qu’elles sont présentes dans les occasions les plus diverses. Mais cette fascination s’exerce encore aujourd’hui sur les mathématiciens, et même sur les géomètres les plus chevronnés. Une des raisons en est sans doute l’extraordinaire variété des approches possibles pour appréhender ces objets. Les sections de cônes d’Apollonius et les courbes algébriques du moment degré de Descartes en sont deux exemples éloquents. Les noms de Ménechme, d’Archimède, Hypatie, Khayyám, los angeles lease, Kepler, Desargues, Pascal, et de bien d’autres leur sont, aussi, souvent associés. Bruno Ingrao nous donne ici un exposé moderne et unificateur, se plaçant d’emblée dans le cadre de los angeles géométrie projective. L’espace qui nous est le plus familier, celui qu’appréhende notre regard, est certes l’espace affine. Aussi le détour par los angeles « complétion projective » peut-il inquiéter. Mais los angeles puissance et l’efﬁcacité de l’outil utilisé s’imposent rapidement. Dans l’étude projective, l. a. génération homographique est un élément-clef. On comprend grâce à elle pourquoi tant de lieux géométriques s’avèrent être des coniques. Ensuite, l’importance du choix de l. a. droite à l’inﬁni apparaît avec netteté : c’est lui qui détermine los angeles category usuelle en trois grandes familles. los angeles liste des objets associés aux coniques est longue : centres, diamètres, birapport, pôles, polaires, foyers, sommets, axes, directrices… l. a. présentation adoptée permet de situer chacun dans le cadre dont il relève (projectif, affine, euclidien) et donne ainsi une imaginative and prescient claire et simpliﬁée de ce paysage foisonnant.

Même si l’enseignement secondaire ne leur accorde plus guère de position, les coniques restent un sujet incontournable dans toute véritable formation mathématique. Cet ouvrage rendra donc carrier aux élèves des periods préparatoires scientifiques, aux étudiants en Licence ou de grasp, ainsi qu’aux candidats au CAPES ou à l’agrégation. Mais, bien au delà,ce sont tous les amoureux de l. a. géométrie qui le liront avec passion.

Bruno Ingrao est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud. Il a été maître de conférences à l’université Blaise-Pascal à Clermont-Ferrand. Aujourd’hui à l. a. retraite, il proceed d’œuvrer pour l. a. diffusion des mathématiques auprès d’un huge public. Il fait notamment partie de l’équipe d’animateurs du vital website français consacré aux mathématiques (les-mathematiques.net), sur lequel sa grande tradition associée à son expertise pédagogique font merveille.

Mathematics topic class (2000):
14-XX Algebraic geometry
    14H-XX Curves
        14.20 Algebraic curves, surfaces and distinctive varieties
51-XX Geometry
    51F-XX Metric geometry
    51N-XX Analytic and descriptive geometry
        51N10 Affine analytic geometry
        51N15 Projective analytic geometry
        51N20 Euclidean analytic geometry
        51N25 Analytic geometry with different transformation groups
        51N30 Geometry of classical groups
        51A05 normal concept and projective geometries

Table des matières :

Chapitre I. Espaces projectifs
    1. Généralités
    2. Définition d’un espace projectif
    3. Dualité dans les espaces projectifs
    4. Les homographies
    5. Exercices

Chapitre II. Complétion projective d’un espace affine
    1. Définition
    2. Une software typique
    3. Passage par des abscisses
    4. Changements de coordonnées
    5. Exercices

Chapitre III. Complétion projective des espaces affines euclidiens
    1. Éléments métriques vectoriels complexes
    2. Éléments métriques dans le complexifié du plan affine euclidien
    3. Exercices

Chapitre IV. L’espace des formes quadratiques sur E
    1. Définitions
    2. Orthogonalité
    3. l. a. réduction des formes quadratiques

Chapitre V. Propriétés projectives des coniques
    1. Les coniques du plan projectif
    2. Propriétés projectives des coniques propres
    3. L’aspect tangentiel des coniques
    4. Génération des coniques par homographies
    5. Exercices

Chapitre VI. category affine des coniques réelles
    1. Introduction
    2. type affine des coniques réelles
    3. Propriétés affines des coniques à centre
    4. Tangentes et asymptotes à une conique à centre
    5. Propriétés affines de l. a. parabole
    6. Exercices

Chapitre VII. l. a. type métrique des coniques
    1. Préliminaire
    2. Propriétés focales communes aux coniques propres
    3. Étude métrique de los angeles parabole
    4. Propriétés bifocales des coniques à centre
    5. Étude des propriétés métriques de l’ellipse
    6. Propriétés métriques de l’hyperbole
    7. Exercices

Chapitre VIII. Diverses functions de l. a. théorie projective
    1. Coniques tangentielles et homographies
    2. Les faisceaux de coniques
    3. Les homographies sur les coniques
    4. Exercices

Chapitre IX. Quelques constructions
    1. development de los angeles polaire d’un point
    2. building de l’intersection d’une droite et d’une conique
    3. Et pour quelques money de plus

Chapitre X. Les sections coniques
    1. Les cônes de révolution
    2. Cônes et coniques
    3. L’aspect métrique
    4. l. a. réciproque
    5. Exercices

Chapitre XI. Et l’espace alors ?
    1. Introduction
    2. Généralités
    3. Étude des quadriques propres
    4. l. a. class projective des quadriques complexes
    5. los angeles type projective des quadriques réelles
    6. l. a. category affine des quadriques réelles
    7. Aperçu sur les faisceaux de quadriques

Annexe A. Espaces affines et notions associées
    1. Espaces affines
    2. Espace vectoriel adjoint d’un espace affine
    3. Exercices

Annexe B. Complexifié d’un espace vectoriel ou affine réel
    1. Le complexifié d’un espace vectoriel
    2. Le complexifié d’un espace affine réel
    3. Exercices

Annexe C. Formes bilinéaires
1. L’espace des formes bilinéaires sur E
2. Orthogonalité relativement à une forme bilinéaire

Annexe D. Espaces euclidiens
    1. Les espaces vectoriels euclidiens
    2. Le groupe orthogonal
    3. l. a. concept d’angle orienté
    4. Exercices

Annexe E. Le plan affine euclidien
    1. L’alignement
    2. Les angles
    3. Les isométries
    4. Les similitudes
    5. Complément sur les cercles
    6. Cercles orthogonaux

Annexe F. À propos d’un théorème

Annexe G. symptoms et solutions
    1. Chapitre I
    2. Chapitre II
    3. Chapitre III
    4. Chapitre V
    5. Chapitre VI
    6. Chapitre VII
    7. Chapitre VIII

Annexe H. Problème de concours général
1. Problème de concours général 1961

Annexe I. Concours d’entrée 2006 à l’École Centrale

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3. 128). The latter is known as the TE, or the Hpolarization, case. 4. Pattern factors with an angular dependence, of course, can be added to the fields from such line sources, and these will remain y /\ 4 Equlphaae Surface REDUCTION OF RESULTS TO TWO-DIMENSIONAL RAY TUBES For two-dimensional ray tubes, the fields are independent of one of the three Cartesian coordinates (assumed here without loss of generality to be the z-coordinate), and assume a "cylindrical" character. We will refer to such G O fields as 2D with respect to the z-axis.

This is a carry-over from the field of acoustics, which also uses many of the results demonstrated for electromagnetics problems in this text. 38) is In this matrix format, the dyadic relation: Er(Qr) = Ei(Qr) . R The dyadic reflection coefficient R in general would be a 3 x 3 matrix. The reduction to a 2 x 2 matrix results from the selection of the local ray-fixed coordinate system. The adoption of an edge-fixed coordinate system in later chapters on edge diffraction similarly will reduce the dyadic diffraction coefficient to a 2 x 2 matrix.

Thus, we are able to identify different wave processes such as reflection, edge diffraction, or curved surface diffraction. The next chapter considers the reflection of geometrical optics fields by smooth conducting surfaces. The additional scattering phenomena mentioned form the subject of later chapters of this text. That the reader be aware of the manner in which terms such as incident field and scattered field are defined in electromagnetic theory is essential. In rigorous scattering formulations there is no consideration of rays, and the meaning of such terms is generally not the same as that used in the geometrical theory of diffraction.

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