New PDF release: Algèbre géométrique

By EMIL ARTIN

ISBN-10: 2876470896

ISBN-13: 9782876470897

Édition originale publiée sous le titre Geometric Algebra par Interscience Publishers en 1957.
Réimpression de l. a. traduction française publiée par Gauthier-Villars en 1962.

AVANT-PROPOS de Gaston JULIA

On sait depuis longtemps que l’Algèbre et los angeles Géométrie, en certains de leurs chapitres, ne sont que deux facets différents d’une même vérité, en sorte que tout progrès de l’un amène un progrès de l’autre, et que los angeles présentation abstraite de l’Algèbre s’accompagne de représentations géométriques très suggestives ou d’applications géométriques fructueuses, qui, quelquefois, l’ont même précédée.

Le présent livre est un modèle de cette présentation combinée de l’Algèbre et de los angeles Géométrie, que nous estimons être de l. a. plus haute valeur éducative et de los angeles plus grande utilité dans los angeles recherche : c’est pourquoi nous avons été très heureux de l’accueillir dans notre assortment des « Cahiers scientifiques ».

Ce n’est pas un traité complet. On n’y traite que certains chapitres de l’Algèbre, dont l’importance pour los angeles Géométrie et pour l’histoire du développement des Mathématiques modernes, est pourtant fondamentale, et ressort de l’exposé même qu’on va lire.

La méthode de l’auteur est très suggestive. Qu’on lise en effet sa préface ; on y notera deux soucis : un souci de rigueur abstraite qui conviendra toujours à tout exposé d’Algèbre ; un souci d’éveiller des pictures géométriques comme representation et software des théorèmes algébriques étudiés. Notre opinion est que ce double souci devrait animer tout ouvrage de Mathématiques.

De son côté, M. Jean Dieudonné, l’éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l’espoir que bientôt « le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d’apprécier l’ouvrage d’Artin et de le mettre à l. a. position qui lui revient, à côté des célèbres « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert ». On ne saurait mieux dire.

====== desk des matières ======

Avant-propos
Préface
Suggestions pour le bon utilization de ce livre
Table des matières

Chapitre I — Notions préliminaires
    1. Notions de théorie des ensembles
    2. Théorèmes sur les espaces vectoriels
    3. Etude plus détaillées des homomorphismes
    4. Dualité et couplages
    5. Equations linéaires
    6. symptoms pour un exercice
    7. Notions de théorie des groupes
    8. Notions de théorie des corps
    9. Corps ordonnés
    10. Valuations

Chapitre II — Géométrie affine et géométrie projective
    1. Introduction ; les trois premiers axiomes
    2. Dilatations et translations
    3. building du corps
    4. advent de coordonnées
    5. Géométrei affine sur un corps de base donné
    6. Le théorème de Desargues
    7. Le théorème de Pappus et los angeles loi commutative
    8. Géométrie ordonnée
    9. issues harmoniques
    10. Le théorème fondamental de los angeles géométrie projective
    11. Le plan projectif

Chapitre III — Géométrie symplectique et géométrie orthogonale
    1. constructions métriques sur les espaces vectoriels
    2. Définitions des géométries orthogonale et symplectique
    3. characteristics communs des géométries orthogonale et symplectique
    4. characteristics particuliers à l. a. géométrie orthogonale
    5. characteristics particuliers à los angeles géométrie symplectique
    6. Géométrie sur les corps finis
    7. Géométrie sur les corps ordonnés. Le théorème de Sylvester

Chapitre IV — Le groupe linéaire général
    1. Déterminants non commutatifs
    2. los angeles constitution de GL_n(k)
    3. Espaces vectoriels sur les corps finis

Chapitre V — los angeles constitution du groupe symplectique et du groupe orthogonal
    1. constitution du groupe symplectique
    2. Le groupe orthogonal d’un espace euclidien
    3. Espaces elliptiques
    4. L’algèbre de Clifford
    5. los angeles norme spinorielle
    6. Les cas où dim V ⩽ 4
    7. los angeles constitution du groupe Ω(V)

Bibliographie et feedback pour des lectures complémentaires
Index

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Example text

The constant c only depends on the angles: if these are ϕ1 , ϕ2 , . . , ϕn , then c = 4 cot(ϕi /2). Equality holds only if the polygon is a tangential polygon. We conclude that of the polygons with fixed perimeter and angles, the tangential polygon has the greatest area. 6 The theory of linear families was not developed for polygons, but for arbitrary closed convex curves k1 and k2 (Fig. 3). By corresponding points A and B, k2 k1 A B Fig. 3. we mean points with parallel tangent lines. If C is the point on AB such that AC : CB = μ : λ, then the locus of C is element k(λ, μ) of the family.

At the vertices, perpendicular to l, and determine the points B1 and B2 , and so on, such that B1 B2 is equal to BB , lies on the same line, and has its midpoint on l. This gives rise to a polygon A1 B1 C1 D1 C2 B2 with the same area as ABCD (it is, after all, divided up into trapezoids, respectively triangles, with the same areas as the parts of ABCD) and a perimeter that is at most equal to that of ABCD, because all trapezoids have been replaced by isosceles ones. The perimeters are equal only if ABCD already possesses a symmetry axis that is parallel to l.

1, P BC, P CA, and P AB are positive, QBC and QCA positive, QAB negative, RBC and RAB negative, and RCA positive. There is a simple relation between trilinear and barycentric coordinates: ¯ = a¯ X x, Y¯ = b¯ y , Z¯ = c¯ z. 7) then X : Y : Z = ax : by : cz . 8) In the coordinates X, Y , and Z, the line at infinity has equation X+Y +Z = 0. In these coordinates, a line has a homogeneous linear equation, and every homogeneous linear equation represents a line. 3 Let us determine the trilinear coordinates of a number of special points, and the equations of a number of lines.

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Algèbre géométrique by EMIL ARTIN


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