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By A Grothendieck

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1 Sei V ein Vektorraum, sei V = (v1 , . . , vn ) ein Erzeugendensystem von V und seien u1 , . . , um linear unabh¨angig. Dann ist V endlichdimensional und es gilt n ≥ dim (V ) ≥ m. Beweis. 8. 2 Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n. a) n linear unabh¨angige Vektoren in V bilden eine Basis. b) Ein Erzeugendensystem mit n Vektoren bildet eine Basis. Beweis. 8 zu einer Basis mit mehr als n Vektoren erg¨anzt werden, was dim V = n widerspricht. b) folgt analog. 3 Sei U ein Unterraum des endlichdimensionalen K-Vektorraums V.

0 1 a2,n2 +1 . . 0 . . a2n b2     .. . .. ..   .     0 ... ... ... ... 0 1 . . akn bk   .  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 bk+1     .. ..   . .  0 ... ... ... ... 37 ... ... 0 bm Wenn wir das Gleichungssystem auf diese Form gebracht haben n aij xj = bi , 1 ≤ i ≤ m, j=1 so l¨asst sich die L¨osungsmenge einfach ablesen: Fall 1: Es gilt k < m und mindestens eine der Zahlen bk+1 , . . , bm ist = 0. In diesem Fall hat das System offenbar keine L¨osung.

5) ist. Demzufolge ist x ∈ L , und wir haben somit gezeigt, dass L ⊂ L ist. 5) erhalten, indem wir zur k-ten Zeile das (−α)-fache der l-ten addieren. Damit ergibt sich das “alte” Gleichungssystem aus dem “neuen” ebenfalls durch eine Zeilenoperation des Typs Z3. Die vorherige ¨ Uberlegung zeigt also L ⊂ L. Damit ist L = L bewiesen. F¨ ur den weiteren Verlauf der Diskussion ist es u ussig und eher beschwer¨berfl¨ lich, die xi in der Notation immer mitzuschleppen. Wir betrachten deshalb einfach die sogenannte Koeffizientenmatrix   a11 a12 .

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by George
4.2

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